你就理解为在xyz坐标轴内,在xy平面去一个封闭的区域,这个区域每一个点（x,y）对应着被积函数f（x,y）,f（x,y）可以看做是（x,y）这一点对应的高.那么一个无限小的柱体的体积等于

f（x,y）dxdy,把f（x,y）dxdy全部加起来就是二重积分了.求的就是以xy平面内一个封闭的区域为底,f（x,y）为柱体的高,这个几何体的体积

其实，三重积分，就是把一重积分和二重积分的扩展

三重积分及其计算

一,三重积分的概念

将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义

其中 dv称为体积元,其它术语与二重积分相同

若极限存在,则称函数可积

若函数在闭区域上连续,则一定可积

由定义可知

三重积分与二重积分有着完全相同的性质

三重积分的物理背景

以 f( x, y, z)为体密度的空间物体的质量

下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.

二,在直角坐标系中的计算法

如果我们用三族平面 x=常数,y=常数, z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体

其体积为

故在直角坐标系下的面积元为

三重积分可写成

和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算

具体可分为先单后重和先重后单

①先单后重

——也称为先一后二,切条法(先z次y后x)

注意

用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分.

化三次积分的步骤

⑴投影,得平面区域

⑵穿越法定限,穿入点—下限,穿出点—上限

对于二重积分,我们已经介绍过化为累次积分的方法

例1将

化成三次积分

其中为长方体,各边界面平行于坐标面

解

将投影到xoy面得D,它是一个矩形

在D内任意固定一点(x,y)作平行于 z轴的直线

交边界曲面于两点,其竖坐标为 l和 m(l< m)

o

x

y

z

m

l

a

b

c

d

D

.(x,y)

例2计算

其中是三个坐标面与平面 x+ y+ z=1所围成的区域

D

x

y

z

o

解

画出区域D

解

除了上面介绍的先单后重法外,利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分

先重后单,就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分

若 f(x,y,z)在上连续

介于两平行平面 z= c1, z= c2(c1< c2)之间

用任一平行且介于此两平面的平面去截得区域

则

②先重后单

易见,若被积函数与 x, y无关,或二重积分容易计算时,用截面法较为方便,

就是截面的面积,如截面为圆,椭圆,三角形,正方形等,面积较易计算

尤其当 f( x, y, z)与 x, y无关时

希望对你有帮助

这么理解二重积分是求函数在区域d上的体积v底面积s就是区域d的面积高是h也就是fx现在这个函数是1也就是h处处都是1

矩形体积公式 v=sh体积等于底面积乘高

现在h等于1也就是 v=s*1也就是v=s

顾得出函数fx=1在d上二重积分（v）等于区域d的面积

同理 fx要等于2我还可以说fx在d上的积分是d面积的二倍

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