波斯建筑中交错的星形多边形马赛克设计中的十角形特例-片头模版

本文剖析了涌如今历史卷轴和建筑物表面的分外的波斯马赛克设计系列图。
这些设计的共同元素是一个分外的十点星形多边形，为方便起见，称为十角形；它是几种多面体镶嵌的紧张几何形状。
通过旋转两个同心圆全等正五边形，彼此的圆心角之间的径向间隔为36°，可以创建这个十角形。
然而，要创建一个基于十角星的互锁图案，工匠或数学家将须要采纳谨慎的步骤来定位一个基本区域。
一种模块化的图案制作方法彷佛比圆规和直尺构造更适用于这种设计。
这种设计包括在当代数学措辞中有时被称为非周期或准周期密铺图案。

1导言

从过去遗留下来的一些文献来看，很明显，波斯和周边地区的中世纪建筑表面图案的设计者，都具备了相称水平的运用几何学知识。
然而，他们从来没有表现出同等程度的努力或兴趣，通过证明定理和建立关于这种设计的数学事实来供应该主题的纯粹数学知识。
设计师或工匠紧张关心的是呈现视觉上的和谐与平衡，不仅是深层细节，也是整体。
然而，创造这样的设计所采纳的步骤包括了只有数学家才能节制和理解的技能。
一个拥有如此详细的技能知识的人，不管他是不是数学家、艺术家。

大量图案的根本是等边三角形、正方形和正六边形的三种规则镶嵌。
方形瓷砖是最受欢迎的，由于它们比其他的更随意马虎制作。
在其他两种形状之间，由于每六个等边三角形可以表示为一个单一的六边形，以是对付模制、铸造、上漆和上釉瓷砖的经济性使得工匠们更方向于制造六边形而不是三角形的瓷砖。
以下是基于规则镶嵌创建的两个图案示例。
纵然这两个图案对付未经演习的人来说可能看起来是相同的，由于它们都包括相同的重复的十二角星形多边形，但是它们在构造上是非常不同的。
图1a示出了由正方形瓷砖制成的图案；图1b显示了由正六边形制成的图案。
图2展示了图1中所示的每块瓷砖的几何布局。

图1 a，左)基于正方形的十二角星镶嵌；b，右)基于六边形的十二角星形镶嵌

图2 a，左)基于正方形的十二角星镶嵌；b，右)基于六边形的十二角星形镶嵌

最近一本关于这一主题的书展示了瓷砖图案的一步一步的圆规直尺布局，并专门致力于从正方形和六边形这两种形状衍生的图案[Broug 2008]。

在研究了现存的中世纪波斯建筑和临近地区类似建筑的设计后，人们可能会把稳到一些图案不是基于正方形或者规则的六边形；它们的基本构造是基于不同的角度。
这些图案中的许多(如果不是全部的话)是基于两个规则五边形交叉形成的十角星。

2十角星镶嵌：十角星形多边形的一个特例

图3展示了一种用于创建密铺设计的方法，该方法不基于前面提到的规则镶嵌[El-Said和Parman 1976]。
在这种方法中，出发点是一个(10，3)星形多边形——这是一个图形，它是通过在一个方向上连接一个圆上十个等距点中的每三个顶点而创建的(图3左上角圆内的星)。
如图3所示，通过延伸构成(10，3)星形的一些线段并将它们与垂直于一些其它线段的线相交，实现了矩形框架和框架内其它必要线段的布局。
这种矩形瓷砖镶嵌平面，并创造了一系列令人愉快的星星，这些星星按列和行排列(图4)。

图3 十角形瓷砖的圆规直尺布局

图4 a，左)图3中瓷砖的镶嵌;b，右)在伊朗克尔曼的清真寺(Masjid-i-Jami)墙上镶嵌的例子，是用瓷砖制作的

图5 a)两个同心五边形，彼此旋转36 °；b)由此生成的十角形；c)两个同心正方形，彼此旋转45度；d)由此产生的八角形；e)用于八角形方格镶嵌的正方形瓷砖；f)伊朗设拉子的卡里姆汗赞德方舟(Ark Karim Khan Zand)墙上现存的八边形和十字镶嵌

分外的十角星形多边形(为方便起见，此处称为十角星)，是图4中呈现的镶嵌的视觉上占上风的几何形状，可以通过旋转两个同心全等的规则五边形来独立地创建，这两个五边形彼此的圆心角的径向间隔为36 °(图5a-b)。
这种两个正方形径向间隔为45°的旋转产生了吸引人的八角星形多边形(称为八边形)，它在许多几何设计和镶嵌中作为交叉八边形镶嵌的主题之一涌现(图5c-e)。
我们可以假设，与在正方形框架中定义的不太繁芜、大略的十字八角星图镶嵌比较，利用十角星图创建瓷砖设计对设计师来说是一个寻衅(图5f)。

研究过去的文献和遗迹创造，在大多数情形下，类似于图3中终极图像所示的矩形基本区域是记录在卷轴(tumar)和小册子(daftar)中的形状，作为在建筑物表面上实行实际镶嵌的设计，或者作为利用互锁星形多边形图案的几何实验。
在波斯建筑中，这样一个基本的区域被称为一个结：在阿拉伯语中称为aghd，在《相似或互补图形的互锁》(佚名)中有记载，在波斯语中称为girih，这里将利用这个术语。

以下来自过去的资源为我们供应了不同girih图案及其几何形状的信息，这些图案是在陶瓷马赛克和瓷砖上制作的。

3现存的历史文献

只有少数几个文件从过去幸存下来，这使我们本日能够研究许多有趣和耐人寻味的装饰设计布局的配置，以便我们可以理解他们的数学:

A.Buzjani在10世纪写的一篇论文(一本关于工匠必须的几何布局的书):Buzjani“于公元940年出生于伊朗Khorsan市Nishabur附近的Buzjan。
他从他的叔叔那里学习数学，后来在他20多岁时搬到了巴格达。
他在那里成为一名伟大的数学家和天文学家。
他被他那个时期的数学家、科学家和工匠称为Mohandes，意思是最有技巧和知识的职业几何学家。
他去世于公元997/998年。
Buzjani的论文不包括任何装饰设计。
然而，它提出了一些在这种设计的创作中利用的圆规直尺构造[Özdural 2000]。

B.相似或互补图形的联锁[匿名]（Interlocks of Similar or Complementary Figures [Anonymous]）。
Buzjan的论文最初是用阿拉伯语写的，阿拉伯语是当时伊斯兰天下的学术措辞，在几个期间内被翻译成波斯语。
在个中一个译本中，附加了前面提到的波斯原文的连锁论文。
一些研究职员认为，这份文件的作者是一位匿名的13世纪数学家/工匠[zdural 2000]。
然而，在最近的一本波斯书中，包括了Buzjan的论文和这份文件的当代翻译，作者已经被确认为15世纪的波斯数学家Koobnani [Jazbi 1997]。
主要的是要认识到，此书是唯一已知的供应绘制二维girih图案“操作”解释的实用手册(类似于图3中的右图)。
根据G. NecipoÞ lu的说法，“该论文表明，girih模式被认为是一个按比例干系的几何图形系统，这些图形和谐地相互连锁”[1995: 133-135]。

C.托普卡皮卷轴（The Topkapi Scroll），靠近30米长，大约三分之一米高，是一份属于波斯工匠和建筑师的文件，在14或15世纪的帖木儿王朝统治期间。
这幅卷轴被保存在土耳其托普卡帕宫博物馆的收藏中。
该卷轴供应了丰富的知识，用于创造当时建筑和装饰品的墙面和拱顶设计，记录了中世纪晚期波斯天下的建筑师和工匠的努力。
属于卷轴传统期间，用于各种建筑目的的几何设计和图案被记录在一起，没有任何区分和对创造过程的阐明，它由114种图案组成，可供建筑师用于在许多构造中创造马赛克图案。
《托普卡皮卷轴》在1995年出版，对每个设计都有一样平常性的谈论和广泛的评论。

D.塔什干卷轴(The Tashkent Scrolls，16-17世纪的文件，展示了后帖木儿时期的石匠大师的作品)在被创造后首先保存在布哈拉博物馆，后来被转移到乌兹别克斯坦塔什干的东方研究所。
“在他们被创造的时候，这些零星卷轴中的几何设计模式被传统的中亚建筑大师认为是吉里，他们仍旧利用这样的卷轴。
这一术语是指网状几何网格系统的节点或顶点或用于天生杂色图案的布局线……[neci poúLu 1995:9]

E.米尔扎阿克巴（The Mirza Akbar）收藏在伦敦维多利亚和阿尔伯特博物馆。
这个系列包括两个建筑卷轴，以及50多个设计，它们被固定在硬纸板上。
该藏品最初于1876年由卡斯帕·普登·克拉克爵士在伊朗德黑兰为南肯辛顿博物馆(维多利亚和阿尔伯特博物馆的前身)购买，他在1896年至1905年期间担当艺术博物馆(维多利亚和阿尔伯特博物馆的一部分)的主任。
普尔顿·克拉克在米尔扎·阿克巴去世后购买了这些画，米尔扎·阿克巴是他那个时期的波斯国家建筑师。
虽然没有托普卡皮卷轴那么古老，但它们确实显示了延续到当代的画轴传统。
[NecipoÞlu 1995年]

为了深刻理解上述卷轴中大量设计背后的思想，为了在过去现存的纪念性建筑的墙壁上看到它们中的一些，并深刻理解以传统方法创建这种设计的过程，我们须要参考一本有用的波斯文五卷本的书，由M. Maheroannagsh [1984]撰写并插图解释的波斯马赛克设计的布局和实行:

大概最全面和最优雅的关于波斯马赛克的书，包括了设计的几何构造，以及在不同媒介上，在墙壁、地板、圆顶的内部和外部、门和窗户上，以及更多地方，所呈现的彩色图像，是波斯马赛克设计的构造和实行。
作者是一名职业工匠，从几个世纪的先人那里继续了他的职业，最随意马虎打仗到过去的原始工匠剧目。
这些几何构造的装饰性和它们的履行为读者供应了一个快乐的回到过去的旅程[Sarhangi，Jablan和Sazdanovic 2004: 282]。

4联锁十角星马赛克设计

图6a中所示的波斯构造的墙壁上的现有镶嵌包括如图4中所示的十格图案。
还有其他形状的瓷砖构成了瓷砖。
事实上，恰好有五个主题(模块)。
图6b展示了这些模块，它们在伊朗被称为muarraq，一个阿拉伯词。
阿拉伯-安达卢西亚语对这些手工切割的釉面瓷砖的称呼是zellij。
在本文中，它们被称为sazeh(波斯语)模块拼块。

图6 a，左)伊朗伊斯法罕的Imamzeda Darb-i Islam;b，右)五个sazeh模块瓷砖。

这些模块有自己特定的波斯名字:Torange(四边形瓷砖)、Pange(五边形瓷砖)、Shesh Band(凹形八角形瓷砖)、Sormeh Dan(蝶形瓷砖)和Tabl(十格瓷砖)。

比较图4和图6中的两个镶嵌，可以看出，只管在两个镶嵌中利用的各个sazeh模块是相同的，但是它们是非常不同的镶嵌。

图6中镶嵌的几何布局的以下办理方案，在过程中有一些小的修正，来自镶嵌设计者M.Maheroannaqsh [1984]。
请把稳，把一个直角分成五个全等的角并不是所供应的解释的一部分，由于这被认为是设计者的基本步骤。
希望理解这种划分的感兴趣的读者可以阅读[Sarhangi 1999]中的规则十边形的布局技能或在线搜索。

通过创建从A发出的四条射线，将直角∠A分成五个全等的角。
在第二条射线上逆时针选择任意一点C，从C向角∠A的边垂下垂线。
这将产生矩形ABCD以及该矩形内的四条线段，每条线段的一个端点在A处，其他端点是四条射线与矩形ABCD的CB和CD的两条边的交点。
找出从第四条射线创建的第四条线段的中点E。
构建一个圆心为A、半径为AE的弧，使AB在F上与第二条射线在G上相交(第二条线段现在是矩形对角线的一部分)。
画一条与AD平行并穿过G的线，该线与H处的第一条射线和I处的第三条射线相交。
线FH穿过点E并与L处的第三条射线和J处的线AD相交。
画一条穿过J并与第三条射线平行的线。
同样布局直线EI，求这条直线与AD的交点M。
从F点与第三条射线画一条平行线，在k点与第一条射线相交。
构建线段GK、GL和EM。
通过布局一个圆心为I，半径为IG的圆，求N使得GI = IN。
布局直线DN(恰好平行于GK)，与从J发出的直线相交，求P，完成正五边形EINPJ。
线DN在Q处与AB的中垂线相交。
从Q处画一条平行于FK的线，在R处与射线MI相交，然后完成图形(图7a)。
利用矩形ABCD的中央O作为旋转180°的中央，可以得到图6中密铺的基本区域(图7b)。
图7c、d显示了该girih的主题及其镶嵌。

图7 图6中马赛克设计的圆规直尺布局

5三种圆规直尺干系联锁图案的构建方法

5.1径向网格法

图7中的布局方法利用了中世纪期间利用的径向网格方法，并由一些图像及其布局细节息争释支持，记录在相似或互补图形的互锁中[匿名]。

由作者创建的图8显示了径向网格方法的另一个例子。
它显示了一个十角星设计及其镶嵌girih的一步一步的培植。
为了便于理解这种构造，这些点按照它们在构造中的外不雅观按字母顺序进行标注。
第一步，如前面第4节中的布局，是将一个直角分成五份，然后选择一条射线上的任意点C(现在在第三条射线上)。
创造最初的几个点是从直角∠A发出的射线、从相对的直角∠C发出的射线和对角线BD的交点。

图8 girih的逐步构建及其基于作者实行的径向网格方法的镶嵌

图9 A，左)通过边对边地铺设三种类型的多边形块、五边形、六边形和十边形而产生的图案；b，中央)利用多边形边的中点来创建片段并适当地装饰瓷砖；c，右)丢弃构造线以展示终极图案

5.2. 多边形打仗法

E. H. Hankin[1925]先容了另一种称为“打仗多边形”(PIC)的技能，在最近的文章中对此进行理解释[Bonner 2003;卡普兰2005;克伦威尔2009;。
博得纳2009]。
这是另一个有证据表明设计师在历史上利用过的系统[Bonner 2003]。
图9从左至右显示了该技能从底层的多边形网络开始，并结束于终极的图案，这与图8所示的图案相同。

图10 利用构成(10，3)星形多边形的线的延伸来布局图8和9中的镶嵌的girih

6 Mirza Akbar建筑卷轴中的镶嵌及其布局

图4和图6中的两种不同的镶嵌，每一种都是由同一组sazeh模组制成的，这就提出了一个问题：是否有其他的镶嵌可以由同一十角星和它的互锁多边形制成？

图11中的图像是对Mirza Akbar系列设计的精确渲染[也见Bovill, 2012]。
在这种镶嵌中，十格之间的间隔较远。
利用第4节中设计构建所涉及的步骤，我们可以找到图11中镶嵌的传统径向办理方案。

图11 Mirza Akbar系列的镶嵌

不难创造，与图7中的矩形比较，这种垦植的基本矩形具有更长的长度。
因此，从将直角分成五个全等角的射线开始，任意点P当选择在逆时针方向的第一条射线上(而不是前面问题中的第二条射线)。
对付十角星图内接圆的半径，选择从第三条射线(线段AM)创建的线段的一半(与前面布局中的第四条射线不同)。
然后，采取类似的方法来创建图12中的密铺。
下图解释了作者对该问题的一步一步的直不雅观办理方案。
图13示出了由El-Said和Parman [1976]提出的另一种方法，用于创建与图12中相同的镶嵌。
出发点也是一个(10，3)星形多边形，但有了新的延伸，如图所示。

图12 图11中镶嵌的逐步圆规直尺布局作为作者办理的问题的视觉办理方案

图13 利用构成(10，3)星形多边形的线的延伸来布局图11中镶嵌的girih

7用于构建互锁镶嵌的方形网格

在将直角分成五个等角的任意一条射线上选择任意一点，并从该点开始与直角的边垂线，只会得到两种比例不同的矩形：

选择第一条射线上的任意点C，将两个垂线BC和CD落在直角∠A的边上，得到矩形ABCD(图14a)，个中其对角线AC和边BC之间的关系是AC/BC = 2φ= 1+√5，个中φ是黄金分割比。
因此，AB/BC = √(5+2√5)

选择第二条射线上的任意点F将产生矩形AEFG(图14a)，这是黄金矩形:AE/EF = φ。

图14 girih布局可能利用的矩形和正方形是基于将一个直角分成五份而创建的放射状网格

现在的问题是，是否利用如上所述的相同技能，我们能够提出由图6b中的所有五个sazeh模块组成的新模式，但是现在基于正方形girih？

显然，把∠A分成五个全等角的射线都没有直接帮助。
选择P作为∠A的角平分线上的任意一点，布局正方形AHPK，对我们也没有帮助(图14b)。
然而，如果我们从一个圆心为A，半径为任意值的圆弧开始，我们就能得到一个解。
这个弧在某些点上切割直角的边和四条射线，这四条射线用于探求办理方案。
以下图15中的图像，从左上开始到右下结束，展示了作者对该问题的逐步办理方案。

图16是利用图15中的正方形girih从五个sazeh模块创建的镶嵌。
这幅作品曾在美国马里兰州陶森大学举办的2012年Bridges数学艺术展上展出【Fathauer和Selikoff 2012】。

将图15中的密铺girih添加到图4、7和11中所示的前述girih中，得到一组四个不同的镶嵌图案，每个图案由前述五个sazeh模块制成。

好奇的读者可能想知道是否可以从这组模块中形成更多的镶嵌。
同样的好奇心可能匆匆使过去的工匠和数学家去探求新的办理方案，这些方案不一定，至少部分地，基于圆规直尺的布局。

图15 一步一步的圆规直尺布局一个十角星互锁模式的正方形girih作为作者办理问题的可视化办理方案

图16 作者Dah Par II(2011年9月)，Bridges数学艺术展，美国马里兰州陶森大学，2012年[Fathauer和Selikoff 2012]

8马赛克设计的模块化方法

图5d-e展示了可以构建十字八角形图镶嵌的设计办法。
但是，要利用实际的瓷砖镶嵌平面，有两种不同的方法:

利用图5e作为一个实际的瓷砖，并用这个瓷砖镶嵌平面(图5f)。
我们称这样的瓷砖为girih瓷砖(即，用形成镶嵌布局的线条装饰的瓷砖)。
在[Lu和Steinhardt，2007]中利用了“girih tiles”这一表述。
以指示创建十字形联锁图案布局的拼块。
这里采取的是概括的想法，以包括更多的情形；

·制作十字形和八芒形两个独立模块。
然后根据这两个模块切割瓷砖(图17)。
这便是镶嵌的sazeh模。

图17 两个独立的sazeh模块，十字形和八角形，伊斯坦布尔考古博物馆的瓷砖照片(作者拍摄，2010年8月)

这意味着有可能(实际上这是一种常见的做法)利用一些瓷砖(girih瓷砖)找到镶嵌的布局，然后利用不一定与girih瓷砖相同的单个切割sazeh瓷砖进行镶嵌。
图18显示了手工切割的上釉瓷砖zellij，其准备用于摩洛哥市场上的不同瓷砖图案。
每个单独的sazeh瓷砖(在一些文献中称为“tesserae”)都是由较大的方形彩色釉面砖切割成型的。

图18 摩洛哥非斯，袋装单独切割的sazeh瓷砖(阿拉伯-安达卢西亚语中的zellij)。
资料来源:Peter Sanders

模块化供应了一种创建镶嵌布局的方法(也便是说，观点化但不一定是制作组成终极镶嵌的单个实际瓷砖)。
下面的章节展示了两种利用模块化技能创建镶嵌图案布局的方法，与传统的圆规直尺法形成比拟。

Slavik Jablan在他的论文“艺术中的模块化”[1980]中提出，模块化方法被认为是在旧石器时期的古代文化中利用的方法，这也是他的书《对称、装饰和模块化》[2002]的末了一章。
[Sarhangi，Jablan和Sazdanovic 2004年和Sarhangi 2008年]谈论了在中世纪波斯和周边地区利用模块化瓷砖创建图案布局的可能性，作者还先容了间隙和重叠作为创建模块化图案的工具。
近年来，涌现了几篇有趣的、信息丰富的文章，下面谈论更繁芜的模块系统。

8.1基于颜色比拟的模块化

图19展示了Kharragan II(2011年1月)，这是一件基于伊朗西部Kharragan的一座11世纪墓塔设计的艺术品[Sarhangi 2010;棺材2002;棺材2012]。
这件艺术品展示了两种不同的方法，被认为是几个世纪前用来创建涌如今艺术品中央的图案布局的方法。
从左到右，艺术作品展示了基于圆规—直线构造的设计构造(图20)。
从右到左，我们看到了另一种方法，基于颜色比拟的模块化方法，用两种颜色的瓷砖切割和粘贴来构建相同的设计(图21)。
这两种构造方法在2010年匈牙利Bridges会议的“马赛克几何构造设计研讨会”上提出。
]

图19 《Kharragan II》(2011年1月)作者，Bridges数学艺术展，科英布拉大学，葡萄牙，2011年[Fathauer和Selikoff 2011]

图20 天生“帽子”镶嵌网格的多边形布局方法

图21 “帽子”镶嵌的模块化方法

图22所示的照片是作者从托普卡皮宫博物馆Enderun图书馆入口层的实际瓷砖上拍摄的。
从实际的拼块中，不可能创造布局是由圆规直尺方法(图20)还是模块化方法(图21)形成的。
然而，实际密铺中的颜色比拟表明是后者。

图22 土耳其伊斯坦布尔托普卡帕宫Enderun图书馆入口的照片

8.2.基于由多边形组合而成的图案的模块化

图23b显示了作者[Akleman 2009]的作品《希望》(2008年12月)，基于利用两个三角形的模块化观点，每个三角形由三种颜色的较小三角形和菱形组成。
伊朗伊斯法罕比比·齐纳卜陵墓的墙壁上装饰着真正的瓷砖。
把稳，在图23a中，除了最表面顶点中的菱形，两个复合三角形(girih模块)是相反的颜色。
以旋转办法利用这两个girih模块，产生了该艺术品中的图案(图23b)。
为了制作这种图案的实际瓷砖，工匠可以利用图23c所示的切割的sazeh瓷砖。

图23 a，左)这两个模块可以用来找到一个镶嵌的布局；b，中央)镶嵌希望(2008年12月)，由这两个模块制成；c，右)可能用于在墙上创建该图案的sazeh瓷砖

图24b一起显示了(2008年11月)[Akleman 2009]，另一个基于模块化观点的艺术品，利用一个单一的三角形，由三种颜色的较小三角形和菱形形成；然而，制作瓷砖所需的颜色数量是两种。
这种图案的实际瓷砖涌如今伊朗纳坦兹贾梅清真寺的一壁墙上[Maheroannagsh 1984]。
图24a是用于探求设计的girih模块。
图24c示出了用于实际密铺的两个sazeh拼块。
在实际的贴砖中，这两个sazeh模块的物理副本被设置为彼此相邻，它们之间的间隙由砂浆添补。

图24 a，左)用于查找镶嵌布局的girih模块；b，中)《在一起》(2008年11月)；c，右)用于实行此图案的sazeh瓷砖

9联锁星形多边形镶嵌设计中的模块化

Jay Bonner [2003 ]描述了几种利用多边形打仗技能天生伊斯兰几何图案的多边形系统。
这些系统中的多边形元素具有与线条干系的模式，Bonner描述为具有历史先例。
在本文所述的镶嵌图案中表示的各种五重设计利用十角星图，并且在每个图案顶点处具有72°、108°、72°、108°的角度。
这已被Bonner确定为中等角度图案系列。
在五重系统中，中等角度图案具有72°交叉图案线，位于重复模块的每个边缘的中点上。
图25a示出了形成五重系统的十角星形模块。

图25 a，上图)五重系统；b，下图)伊斯法罕Darb-i伊玛目

查看图25b (Darb-i Imam，ISF ahan ), Bonner把稳到一组连接十角星图中央的线，以形成具有更大复合瓷砖的其他镶嵌(对付本文的读者来说，这些线被加粗以更加可见)。
Bonner用这个图形引入了自相似性，并引入了术语“子网格”来阐明中世纪波斯马赛克设计。

图26 托普卡皮卷轴中第28号图像的渲染

托普卡帕卷轴中的图案28是一个5重自相似的A型设计，也描述了在二次设计创作中利用的潜在多边形子网格。
这种非常分外的技能在历史上被利用过，这在托普卡皮卷轴中得到证明。
这幅卷轴中的28号图案利用小红点来区分次级图案的多边形网格。

Lu和Steinhardt [2007]也把稳到了这些赤色虚线，并建议他们解释一组新的瓷砖，个中玄色实线装饰这些新的瓷砖(图27)。
他们意识到这个新的凑集可以用作一组模块，类似于上一节中先容的模块，但现在以更繁芜和迷人的形式，用于探求新的互锁星形多边形图案。
这将肃清圆规直尺构造中的困难，事实上，为创造更多有趣的马赛克图案打开了大门。
Lu和Steinhardt将这种新的组合命名为girih拼块，本文采取这个名称来表示形成镶嵌的模块布局。

Lu和Steinhardt提出的边对边模块化方法对应于[Bonner 2003]提出的五重系统中的五个中型系列设计模块，这些模块在Bonner [2000]的早期事情(未揭橥的手稿)中进行相识释。
Lu和Steinhardt认为，

…到公元1200年，伊斯兰数学和设计有了重大打破；创造了一种全新的办法来观点化和构建girih线条图案，利用一组5种瓷砖类型作为装饰镶嵌，我们称之为“girih瓷砖”。
每块girih瓷砖都用线条装饰，大略到只需利用中世纪伊斯兰资料中记载的数学工具就能画出。
通过边对边铺设瓷砖，装饰线连接起来形成一个贯穿全体瓷砖的连续网络[Lu和Steinhardt 2007: 1106]。

图27 用于创建十角星联锁设计的五个girih瓷砖

利用该组中的三个模块，我们可以构建前面提到的四个利用圆规和直尺构建的镶嵌。
在图28中，从左上到右下，可以看到图27中五个模块中的三个girih模块的组合如何分别产生图4、图7、图11和图15中所示的图案设计。

利用图27中的girih模块，瓷砖设计者可以构成更繁芜的重复图案。
纵然是个中的两个也足以制作出吸引人的互锁星形多边形镶嵌，而相同的图案利用圆规直尺布局须要非常长的过程(图29)。

图28 构建上述模式的模块化方法

图29 创建图案(c)的圆规直尺法(a，左)和模块化方法(b，中)

图25b中的设计非常繁芜，并且比图28中的四个镶嵌繁芜得多。
然而，利用girih瓷砖集，人们可以更方便，更快地建立它比利用圆规和直尺。
图30示出了如何利用图28中利用的三个girih拼块在Darb-i Imam上构建更大的镶嵌拼块。
那么利用手工切割的sazeh瓷砖在墙上进行全体镶嵌将只是韶光问题。

值得把稳的是，图25b中Darb-i Imam上较大的镶嵌确实是图29中利用的密铺图案中利用的十边形和非凸六边形的两个girih模块创建的密铺的一部分。
图31解释了这种镶嵌和Darb-i伊玛目中利用的部分。

图30 利用girih瓷砖的Darb-i Imam中较大瓷砖的细节

图31 与图29中的图案干系的Darb-i Imam的较大镶嵌

10准周期连锁星形多边形设计

周期性镶嵌是这样一种镶嵌，个中在基于一些向量的适当平移下，镶嵌的图像与原始图像同等，而不该用旋转或反射对称性(在二维晶格中，在向量平移下，镶嵌该当是不变的)。
图32a是由图21中的两个模块形成的帽子瓷砖。
如果镶嵌平移使得A在此平移下的图像与B重合，则此镶嵌的全体图像将与原始图像重合。
如果镶嵌在矢量AC下平移，则存在相同的属性。
因此，图32a展示了周期性密铺。

非周期性镶嵌是不遵照周期性规则的镶嵌。
例如，考虑图21中所示的相同的两个帽模块随机排列以密铺平面。
如上所述，这个大略的规则产生非周期性的密铺(图32b)。

图32 从帽子拼块中得到的周期镶嵌(a，左)和非周期镶嵌(b，右)

图28中的四个镶嵌供应了进一步的例子。
每一个都是周期性的图案，这可以与图30中的十边形比较，其可以作为非周期性的拼块在所有方向上扩展。
把稳，这些镶嵌中的每一个，图28中所示的四个和图30中所示的扩展的十边形，都是利用相同的三个girih模块制成的，包括图27中的十边形和两个六边形。

在这方面，一个有趣的问题涌如今20世纪60年代的数学文献中，这个问题是:“有没有一组瓷砖仅仅非周期性地镶嵌平面？”【加德纳1977】。

准周期或非周期镶嵌是由一组准周期镶嵌产生的，这组镶嵌仅非周期地镶嵌平面。
从数学上来说，平面的镶嵌是非周期确当且仅当它由有限的一组只产生非周期镶嵌的瓷砖组成。
以是上面的问题可以重新表述为：“存在一组非周期性拼块吗？”

1961年，逻辑学家和数学家王昊声称，任何可以非周期地密铺平面的瓷砖集也可以周期地密铺平面(也便是说，准周期瓷砖集不存在)。
王的学生罗伯特·伯奇用王发明的骨牌证明了王的猜想是禁绝确的。
他创造有一套王牌骨牌，只是非周期地密铺。
伯奇用20000多张多米诺骨牌搭建了这样一套。
后来他创造了一个小得多的104组；唐纳德·克努特将人数减少到了92人。
卡雷尔·库利克创造了一组13块瓷砖，可以密铺平面，但只是非周期性的。
Robinson构建了六个瓷砖来逼迫非周期性。
1977年，罗伯特·阿曼创造了一组不同的六块瓷砖，也迫使非周期性[加德纳1977]。

1973年，数学物理学家罗杰·彭罗斯创造了一组准周期的六块瓷砖:“1974年，他找到了将它们减少到四块的方法。
不久之后，他将它们降落到两个”[加德纳1977]。
他创造的两个瓷砖，称为“鹞子”和“飞镖”，只能非周期性地镶嵌(图33b)。
这两个拼块形成菱形，该菱形是可以利用(10，3)星形多边形构建的五折星形的翼(图33a)。
为了不定期地利用鹞子和飞镖铺贴瓷砖，人们还该当适当地连接印在瓷砖上的相同颜色的弧线，以创建连续的曲线(闭合或开放)。
这些曲线防止两块瓷砖形成菱形。
John H. Conway创造由彭罗斯瓷砖制成的一组非周期性瓷砖(Ace、短领结和长领结)能够以更快和更稳定的办法镶嵌平面(图33c) [Gardner 1977]。

图33 a，左)五角星里的鹞子和飞镖；b，中)具有1/φ、φ的比例的曲线的瓷砖，个中φ是黄金比例；c，右)康威建议的新一组非周期瓷砖

可以证明，在一个无限的彭罗斯镶嵌中，须要的鹞子数量是飞镖数量的φ倍。
但φ作为鹞子数量与飞镖数量之比，是一个无理数。
这种无理数是彭罗斯证明镶嵌是非周期性的根本：如果彭罗斯镶嵌是周期性的，那么鹞子和飞镖的比例必须是有理数。

图34a展示了由一定尺寸的鹞子和飞镖创建的彭罗斯瓷砖。
图34b展示了如何利用先前镶嵌的顶点来天生具有更大飞镖和鹞子的新镶嵌，这种征象被称为膨胀。
你可以连续利用膨胀来形成新的拼块，每一代新拼块都比前一次迭代更大。
紧缩是膨胀的逆过程。
利用膨胀可以证明彭罗斯瓷砖的数目是不可数的。

图34 a，左)彭罗斯瓷砖；b，右)膨胀

彭罗斯镶嵌有许多显著的特性，最显著的是:

·它是非周期性的，这意味着它缺少任何平移对称性。
换句话说，被转移的副本永久不会与原件匹配；

·它是自相似的，以是同样的模式涌如今越来越大的尺度上。
因此，镶嵌可以通过“膨胀”(或“紧缩”)来得到，并且来自镶嵌的任何有限补丁涌现无限多次；

·它是一种准晶体：作为一种物理构造，彭罗斯瓷砖将产生布拉格衍射，其衍射图揭示了五重对称性和潜在的长程有序[维基百科]。

图33中的五角星已被用于波斯建筑设计中的墙壁和穹顶内部[Sarhangi 1999]。
图35a示出了作为实际密铺的这个星。
图35b示出了该布局的圆规直尺细节，其展示了用于产生自相似的较小一代恒星的细分规则[Sarhangi 1999]。

图35 图33a中的星形的实际密铺及其布局的细节

晶体学家Emil Makovicky是最早研究波斯建筑上的马赛克设计以认识到准晶体图案存在的人之一[makovcky 1992]。
他研究了伊朗马拉加的冈巴德·伊卡巴德[Bier 2012]。
这座12世纪晚期的十边形塞尔柱建筑近年来吸引了许多数学家和设计师的把稳。
在他的研究过程中，马科维奇考虑了三种他命名为“马拉加型”的瓷砖：五边形、蝴蝶和带有明显锐角顶点的菱形。

为了基于图33c中所示的Conway创造的一组复合瓷砖来研究一些波斯构造的准晶体性子，Lu和Steinhardt提出了三种新的瓷砖，其类似于图27中的三种前述girih瓷砖(图36a)。
这三个新拼块产生非周期性拼块；然而，考虑到每个瓷砖上的装饰，它们是彭罗斯曲线，它们在实质上不同于图27中的三个girih瓷砖，由于它们具有较少的对称性。
对付这个凑集(而不是构成彭罗斯鹞子和飞镖的凑集)，我们可以利用十重旋转对称来镶嵌平面(图36b)。
以这种办法，有情由接管我们能够将图36中的车轮扩展到更大的构造，以构建图30中的十边形(不考虑单个瓷砖上的装饰)并连续无限延伸。
在这方面，我们也可以选择相反的方法：我们从十边形开始，并基于图30中直不雅观展示的规则对其进行细分，然后用图36a中的拼块更换图30中十边形内部的小girih拼块，并无限期地连续该过程。
由图36a中的准周期拼块产生的该图案相对付原始的彭罗斯鹞子和飞镖是准晶体图案。
Lu和Steinhardt表明，将图36a中的拼块视为单元，利用矩阵符号，该细分过程可以表示为展示三个拼块在细分的每个步骤中涌现的频率的矩阵。
这个矩阵的特色值表示在无限细分过程的极限中拼块频率的比率，它是无理数，表明模式不是周期性的。
因此，如果我们利用图36a中的三个拼块，从这种细分产生的图案是准周期性的，并且如果我们将这三个拼块与图27中它们的对应girih拼块交流，则该图案是非周期性的。

图36 a，左)由鹞子和飞镖制成的三块瓷砖，类似于三块girih瓷砖；b，右)类似于图30中的十边形的车轮的边对边布局的开始

图37 一，左)Rigby 鹞子和飞镖；b，右)由Rigby 瓷砖形成的周期性图案

为了天生非周期性马赛克图案，Jean-Marc Castera创建了一组四个装饰模块瓷砖[Castera 2003]，后来在这方面推出了更多的装饰瓷砖。

2006年，在制作彭罗斯互锁星形多边形的考试测验中，John Rigby[2006]提出了一种用适当的图案覆盖鹞子和飞镖表面的方法，以得到一组sazeh瓷砖来天生各种互锁图案(图37a)。
装饰这两块瓷砖的图案与彭罗斯曲线不属于对称的范畴。
这是由于Rigby瓷砖可以周期性镶嵌平面，由于鹞子和飞镖可以形成菱形(图37b)。
然而，如果我们避免在里格比镶嵌中形成任何菱形，那么图案将是非周期性的。

如上所述，主要的是要强调彭罗斯拼块不能产生全局或局部的十重旋转对称。
它们只能产生五重对称。
有无数的彭罗斯镶嵌。
只管彭罗斯瓷砖有无限个局部五重旋转对称中央，但没有一个具有全局五重旋转对称，只有两个例外。
具有完美的全局五重旋转对称的两个镶嵌被称为“太阳”和“星星”(图38)。
从一个是另一个的膨胀的意义上来说，这两个镶嵌是彼此的对偶。

图38 左)彭罗斯太阳；右)彭罗斯星星

图39 彭罗斯太阳和星星与Rigby鹞子和飞镖

图39显示了彭罗斯太阳和星星，我们利用Rigby鹞子和飞镖为它们编排。
不雅观察图39a中的太阳，不雅观察者把稳到图30a中车轮的中央和图39a中太阳的中央之间惊人的相似，图30a中车轮的中央可以扩展为保持十次旋转对称的完美非周期(但不是准周期)图案，图39a中太阳的中央基于具有完美五次旋转对称的准晶体图案建模。

结论

中世纪的波斯工匠、建筑师和数学家一定有相称踏实的几何学背景，他们的创造不仅表示在圆顶和建筑物的构造上，也表示在装饰这些构造墙壁的设计和图案上。

彷佛在古代创造的一些早期几何设计是通过试错切割瓷砖片的组合创造出来的。
在包括本文在内的一些文献中，这种技能被称为模块化。

后来，随着知识的中央从希腊和拜占庭转移到东方，波斯人广泛利用圆规直尺来创造几何图案。
从过去流传下来的少数论文和卷轴清楚地展示了这一点。

后来，设计师们利用大略多边形天生的镶嵌图案作为根本，在其上构建精美的镶嵌图案。
此后不久，他们在模块化和利用圆规直尺创建繁芜模式方面的知识相结合，导致了模块化方法的新水平，产生了许多高度繁芜和优雅的设计，这些设计很难(如果不是不可能的话)单独利用圆规和直尺来实行。

查看现有构造和历史卷轴上的这些设计，可以得出这样的结论：过去的设计者寻求最大化对称性，尤其是局部和整体旋转对称性，尤其是五重和十重旋转对称性。
令人惊异的是，他们用马赛克设计表达的一些办理方案引起了当代晶体学家和数学家的把稳，他们已经找到了类似的模式来回答当代数学中的当代问题。

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青山不改，绿水长流，不才辞职。

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